terça-feira, 2 de março de 2010

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Ensino Médio: Relações e Funções: Exercícios

Explicitando conjuntos
Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico.



Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?

a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}
b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}
c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}
d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

Com a mesma relação R do exercício anterior, qual das alternativas é a relação inversa R-1?



R-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

R-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}

R-1={(4,a),(2,c),(3,b)}

R-1={(1,a),(2,c)}


Sejam os conjuntos A={a,b,c,d,e} e B={2,4,6,8,10} e a relação R, mostrada no gráfico.



Quais são as formas explícitas da relação R e da relação inversa R-1?


Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y)A×B: y=2x-1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R?




Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construir o gráfico cartesiano desta relação.


Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder às questões pertinentes a esta relação.



Qual das alternativas abaixo é verdadeira?

(2,3)R, (5,1)R, (7,7)R

(1,1)R, (3,5)R, (5,1)R

(1,1)R, (5,5)R, (3,5)R

(2,3)R, (3,5)R, (7,7)R


Dominio, contradominio, imagem, relações direta e inversa
Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre o conjunto A={1,2,3,5,7}, responda qual das alternativas abaixo representa o contradomínio da relação R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

a. CoDom(R)={1,2,3,5,7}
b. CoDom(R)={1,3,5,7}
c. CoDom(R)=R
d. CoDom(R)={3,5,7}

Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}. Qual alternativa representa o domínio de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

a. Dom(R)=R
b. Dom(R)={2,5,7}
c. Dom(R)={1,2,7}
d. Dom(R)={1,2,3,5,7}

Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}, qual das alternativas representa a imagem de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

a. Im(R)={1,2,3,5,7}
b. Im(R)={1,3,5,7}
c. Im(R)={1,3,5}
d. Im(R)=R

Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.



Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).

a. (2,1) pertence à relação R.
b. (3,2) pertence à relação R.
c. (4,3) pertence à relação R.
d. (5,6) pertence à relação R.
e. (8,7) pertence à relação R.

Usando as informações do exercício anterior, apresente o contradomínio da relação R e a inversa da relação R, denotada por R-1.




Neste trabalho, o conjunto dos números naturais será denotado por N={1,2,3,4,5,6,7,...}.

Seja a relação R={(x,y)N×N: 2x+y=8}. Qual dos ítens representa o domínio da relação R?

a. {8} b. N c. {1,2,3} d. {2,4,6}
Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das respostas abaixo representa o contradomínio de R?

a. {1,3,5,7} b. {0,1,2,3,4,5,6,7} c. {0,2,4,6} d. N
Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das alternativas abaixo representa a imagem de R?

a. {1,3,5,7} b. {2,4,6} c. Ø d. N
Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. A relação inversa denotada por R-1 está indicada em qual das alternativas?

a. {(6,1),(4,2),(2,3)}
b. Ø
c. {(1,6),(2,4),(3,2)}
d. N

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Função Quadrática

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0


Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y
-3 6
-2 2
-1 0

0 0
1 2
2 6



Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;



Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:




Temos:



Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real;

quando é negativo, não há raiz real.

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Funções Logarítmica e Exponencial

Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.


EXPOENTES IRRACIONAIS
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por



Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.

Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como



Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,

3,1415926

Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de isto é,

3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159

e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:



Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.

Tabela

x
3 8,000000
3,1 8,574188
3,14 8,815241
3,141 8,821353
3,1415 8,824411
3,14159 8,824962
3,141592 8,824974



A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são

f (x) = , f (x) = , f (x) =

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.

Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

DERIVADAS DE POTÊNCIAS RACIONAIS DE X
A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula



é válida para todos os valores inteiros de n e para n = . Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então



sempre que e estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que é diferenciável.

Seja y = . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como



Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos



Desta forma, pode ser escrito como





Exemplo

A partir de



Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de




OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

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Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.
Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
a) Definição
Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Observações, Propriedades e Exemplos:
• A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
• Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
• Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
• No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
• Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
• Exemplos de funções exponenciais:

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.
T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.
T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Demonstração:

Daqui, pelo teorema T1 temos:

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Demonstração:

Pelo teorema T1, vem que:

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição
Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.
Exemplos:

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:
• Método de redução a uma base comum;
• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.
Trataremos neste artigo apenas do primeiro método. O segundo será visto em outro artigo sobre logaritmo.
b) Método de redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.
Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

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Um pouco da História da Trigonometria

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.

Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao desgaste do tempo por mais de três milênios e meio. O mais extenso dos de natureza matemática é um rolo de papiro com cerca de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, que está agora no British Museum, exceto uns poucos fragmentos que estão no Brooklin Museum. Foi comprado em 1858 numa cidade à beira do Nilo, por um antiquário escocês, Henry Rhind, que lhe emprestou o nome. Às vezes, é chamado Papiro Ahmes em honra ao escriba que o copiou por volta de 1650 a.C. O escriba conta que o material provém de um protótipo do Reino do Meio, de cerca de 2000 a 1800 a.C., e é possível que parte desse conhecimento tenha provindo de Imhotep, o quase lendário arquiteto e médico do Faraó Zoser, que superintendeu a construção de sua pirâmide há cerca de 5000 anos. De qualquer modo, a matemática egípcia parece ter ficado estagnada por cerca de 2000 anos, após um início bastante auspicioso. (in Boyer, C.B. História da Matemática, Editora Blücher, São Paulo, SP, 1974.)Talvez a mais notável das tabulas matemáticas babilônias já analisadas. O nome indica tratar-se da tabula da coleção G.A. Plimpton da universidade de Colúmbia, catalogada sob o número 322. A tabula foi escrita no período Babilônico Antigo - aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C. - e os primeiros a descrever seu conteúdo foram Neugebauer e Sacs em 1945. (in Eves, H.: Introdução à História da Matemática, Editora da UNICAMP, Campinas, SP, 1997.)A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.



Papiro Rhind, Museu de Londres.

O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios.

A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas. Apesar da corda de um arco não ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-se calcular o seno da metade do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é , conforme figura:



OB = r





A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno do complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.

Outro matemático grego, Menelau de Alexandria, por volta de 100 d.C., produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros, se preservou numa versão árabe e é o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica.

EsféricosEntretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade foi a Syntaxis mathematica, obra escrita por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.

Sintaxe MatemáticaMostrando a mesma influência babilônica apresentada por Hiparco, Ptolomeu dividiu a circunferência em 360 partes e o diâmetro em 120 partes. Usou como aproximação para o número p. Embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas das cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental . Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual, são:






De posse do equivalente dessas fórmulas, Ptolomeu construiu uma tabela de cordas de uma circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre 0º e 180º. Calculou comprimentos de cordas, inscrevendo polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 10 lados num círculo. Isso lhe possibilitou encontrar a corda subtendida por ângulos de 36º, 60º, 72º, 90º e 120º. Descobriu então, um método para encontrar a corda subtendida pela metade do arco de uma corda conhecida. Esse fato que, em nossa simbologia, é o mesmo que , juntamente com interpolação, permitiu-lhe calcular cordas com um bom grau de precisão.

Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para os ângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os estudiosos discutiam uma "expressão" do ângulo em termos de p, que primeiramente foi chamada "p-medida", "circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que fizeram uso dessa unidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas matemáticas e físicas.

Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo com sua Matemática original e criativa, os Hindus.

A mais antiga tábua de senos foi descoberta na Índia, onde essas tábuas sem dúvida se originaram. Seus inventores, desconhecidos, conheciam as idéias matemáticas gregas e babilônias transmitidas como subprodutos de um florescente comércio romano com o sul da Índia, via Mar Vermelho e Oceano Índico. O Surya Siddhanta, cujo significado é sistemas de Astronomia, era um conjunto de textos matemáticos e regras enigmáticas de Astronomia, redigido em versos, em sânscrito, com poucas explicações e nenhuma prova. Foi composto no século IV ou V d.C., mas a versão que resta foi revista tantas vezes que é difícil dizer que partes estão em sua forma original.

O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus. Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que agora realmente são tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foi reproduzida no trabalho de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskara em 1150.

Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno.

Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu'l - Wafa sabia que , embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu , fazendo x = y.

A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi traduzida para o árabe que chamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.

O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcus rapidamente encorajou o uso universal de seno.


Seno do arco retoUma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como em hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a colocação das vogais. Além de jiba e jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.

Os capítulos do livro de Copérnico, mostrando toda a importância da Trigonometria para a Astronomia, foram publicados em 1542 por Rheticus. Este também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a sua morte.

O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão por todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma nova idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634 pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtred S.

Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em 1620, sugeriu co-sinus. A notação Si.2 foi usada por Cavalieri, s co arc por Oughtred e S por Wallis.

Resíduos do senoViète conhecia as fórmulas para sen nx em termos de sen x e cos x. Ele deu explicitamente as fórmulas relativas ao seno e ao cosseno do arco triplo

A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto modificava o tamanho da sombra.




Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides através da semelhança de triângulos.

As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes por volta de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi primeiro usado por Edmund Gunter, em 1620.

As notações para a tangente e a cotangente seguiram um desenvolvimento semelhante àquele do sen e cos. Cavalieri usou Ta e Ta.2, Oughtred usou t arc e co arc, enquanto Wallis usou T e t. A abreviação comum usada hoje é tan (ou tg) sendo que a primeira ocorrência desta abreviação é devida a Albert Girard em 1626, com tan escrito por cima do ângulo; cot foi primeiro usada por Jonas Moore em 1674.

A secante e a cossecante não foram usadas pelos antigos astrônomos ou agrimensores. Estas surgiram quando os navegadores por volta do século XV começaram a preparar tabelas. Copérnico sabia da secante que ele chamou a hipotenusa. Viète conhecia os resultados e .

As abreviações usadas por vários autores foram semelhantes para as funções trigonométricas já discutidas. Cavalieri usou Se e Se.2, Oughtred usou se arc e sec co arc, enquanto Wallis usou s e s. Albert Girard usou sec, escrito por cima do ângulo como ele fez para a tan.

O século XVIII viu as funções trigonométricas de uma variável complexa sendo estudadas. Johann Bernoulli achou a relação entre e log z em 1702. De Moivre publicou seu famoso teorema em 1722, enquanto Euler, em 1748, forneceu a fórmula

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Funções, Inversa e Composta
sobre Matemática Por Paulo Marques
math@paulomarques.com.br

Publicidade 1 - FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x .

Veja a representação a seguir:



É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .

Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.



Exercício resolvido:
A função f: R ® R , definida por f(x) = x2 :
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Ö x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Ö x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora

SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo,
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.

2 - FUNÇÃO COMPOSTA

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir:



Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .

Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ¹ gof .

Exercícios resolvidos:

1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc

SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. .

2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.

SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.

Agora resolva esta:

Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1

http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoes-inversa-e-composta.html